Question

9．已知两个非零平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足：对任意λ∈R恒有$|{\overrightarrow a-λ\overrightarrow b}|≥|{\overrightarrow a-\frac{1}{2}\overrightarrow b}|$，则：①若$|{\overrightarrow b}|=4$，则$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=8；②若$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$，则$\frac{{|{2\overrightarrow a-t•\overrightarrow b}|}}{{|{\overrightarrow b}|}}$的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 ①可对不等式$|\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}|≥|\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}|$两边平方，然后根据$|\overrightarrow{b}|=4$便可化简成$16{λ}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}λ+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-4≥0$，该不等式对于任意的λ∈R恒成立，从而有△=$4（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）^{2}-64（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-4）$≤0，对该不等式进行化简便可得到$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-8）^{2}≤0$，从而求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值；
②同样对不等式$|\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}|≥|\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}|$的两边分别平方，根据条件$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，对平方后的式子进行化简便可得到$|\overrightarrow{b}|{λ}^{2}-|\overrightarrow{a}|λ+\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}|-\frac{1}{4}|\overrightarrow{b}|≥0$，该不等式对于任意λ∈R恒成立，从而有△≤0，这样可以得到$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$，然后可以求出$（\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}）^{2}={t}^{2}-2t+4$，配方即可求出$（\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}）^{2}$的最小值，从而便可求出$\frac{|2\overrightarrow{a}-t•\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}$的最小值．

解答 解：①由$|\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}|≥|\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}|$得，$（\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}）^{2}≥（\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}）^{2}$①；
∵$|\overrightarrow{b}|=4$，∴上式整理可得，-2$λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+16{λ}^{2}≥-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4$；
∴不等式$16{λ}^{2}-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-4≥0$对任意的λ∈R恒成立；
∴$△=4（\overrightarrow{a}•{\overrightarrow{b}）}^{2}-64（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-4）≤0$；
∴$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）^{2}-16\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+64=（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-8）^{2}≤0$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-8=0$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=8$；
②由①整理得：$-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{λ}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}≥-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\frac{1}{4}{\overrightarrow{b}}^{2}$②；
∵$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{π}{3}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$，带入②并整理得：
${|\overrightarrow{b}|}^{2}{λ}^{2}-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|λ+\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|-\frac{1}{4}|\overrightarrow{b}{|}^{2}≥0$，|$\overrightarrow{b}$|≠0，该不等式对任意λ∈R恒成立；
∴$△=（|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|）^{2}-4|\overrightarrow{b}{|}^{2}（\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|-\frac{1}{4}|\overrightarrow{b}{|}^{2}）≤0$；
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=（|\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}|）^{2}≤0$；
∴$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$；
∴$（\frac{|2\overrightarrow{a}-t•\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}）^{2}=\frac{4{\overrightarrow{a}}^{2}-4t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{t}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}}{{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\frac{4{\overrightarrow{a}}^{2}-2t|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+{t}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}}{{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\frac{4{\overrightarrow{a}}^{2}-2t{\overrightarrow{a}}^{2}+{t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}={t}^{2}-2t+4$=（t-1）²+3≥3；
∴$\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}$的最小值为$\sqrt{3}$．
故答案为：8，$\sqrt{3}$．

点评 考查数量积的运算及计算公式，一元二次不等式恒成立时判别式△的取值情况，以及完全平方式的运用，配方求二次函数的最值．