Question

已知函数f（x）=ln（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）．
（1）求函数f（x）的定义域I；
（2）判断函数f（x）在定义域I上的单调性，并说明理由；
（3）当a，b满足什么关系时，f（x）在[1，+∞）上恒取正值．

Answer 1

分析：（1）由对数函数的真数大于零求解．
（2）当函数在定义域上单调时，则不存在，当函数在定义域上不单调时，则存在，所以要证明函数是否单调，可用定义法，也可用导数法研究．
（3）由“f（x）在（1，+∞）上恒取正值”则需函数的最小值非负即可，由（2）可知是增函数，所以只要f（1）≥0即可．

解答：解：（1）f（x）=ln（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）要意义，a^x-b^x＞0（2分）
（只要学生得出答案，没有过程的，倒扣一分，用指数函数单调性或者直接解出）ax-bx＞0?(

a

b

)x＞1(a＞1＞b＞0?

a

b

＞1)
∴所求定义域为（0，+∞）（4分）
（2）函数在定义域上是单调递增函数（5分）
证明：?x₁，x₂，0＜x₁＜x₂（6分）
∵a＞1＞b＞0∴ax1＜ax2，bx1＞bx2（7分）

∴ax1-bx1＜ax2-bx2 ∴ln(ax1-bx1)＜ln(ax2-bx2) ∴f(x1)＜f(x2)

（9分）
所以原函数在定义域上是单调递增函数（10分）
（3）要使f（x）在[1，+∞）上恒取正值
须f（x）在[1，+∞）上的最小值大于0-（11分）
由（2）y_max=f（1）=ln（a-b）（12分）
∵ln（a-b）＞0∴a-b＞1
所以f（x）在[1，+∞）上恒取正值时有a-b＞1．（14分）

点评：本题主要考查函数的定义域，单调性及最值，这是常考常新的类型，在转化问题和灵活运用知识，方法要求较高．