Question

【题目】已知函数，若，则实数的取值范围为__________.

Answer 1

【答案】.

【解析】

作出函数f（x）的图象，设f（a）=f（b）=t，根据否定，转化为关于t的函数，构造函数，求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性和取值范围即可．

作出函数f（x）的图象如图：

设f（a）=f（b）=t，

则0＜t≤，

∵a＜b，∴a≤1，b＞﹣1，

则f（a）=ea=t，f（b）=2b﹣1=t，

则a=lnt，b=（t+1），

则a﹣2b=lnt﹣t﹣1，

设g（t）=lnt﹣t﹣1，0＜t≤，

函数的导数g′（t）=﹣1=，

则当0＜t≤时g′（t）＞0，

此时函数g（t）为增函数，

∴g（t）≤g（）=ln﹣﹣1=﹣﹣2，

即实数a﹣2b的取值范围为（﹣∞，﹣﹣2]，

故答案为：（﹣∞，﹣﹣2]．