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【题目】对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件:
①f(x)在D内单调递增或单调递减;
②存在区间[a,b]D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],则把y=f(x),x∈D叫闭函数.
(1)求闭函数y=x3符合条件②的区间[a,b];
(2)判断函数f(x)= x+ ,(x>0)是否为闭函数?并说明理由;
(3)已知[a,b]是正整数,且定义在(1,m)的函数y=k﹣ 是闭函数,求正整数m的最小值,及此时实数k的取值范围.

【答案】
(1)解:由题意,y=x3在[a,b]上递增,在[a,b]上的值域为[a,b],

,求得

所以,所求的区间[a,b]为[﹣1,1]


(2)解:取 x1=1,x2=10,则f(x1)= =f(x2),

即f(x)不是(0,+∞)上的减函数.

取 x1= ,x2= ,则f(x1)= +10< +100=f(x2),

即f(x)不是(0,+∞)上的增函数,

所以,函数在定义域内不单调递增或单调递减,从而该函数不是闭函数


(3)解:函数y=k﹣ 是闭函数,则存在区间[a,b],使函数f(x)的值域为[a,b],

∵函数y=k﹣ 在区间[a,b]上单调递增,即

∴a,b为方程 的两个实根,

即方程 在(1,m)上有两个不等的实根.

由于

考察函数 ,∵函数g(x)在(1,2)上递减,∴m>2.

∵g(x)在(2,m)递增,而函数y=g(x)与y=k在(1,m)有两个交点,

所以正整数m的最小值为3,此时,g(3)= ,此时,k的范围是(5, ).


【解析】(1)由题意,y=x3在[a,b]上递增,在[a,b]上的值域为[a,b],故有 ,求得a、b的值,可得结论.(2)取 x1=1,x2=10,则由f(x1)= =f(x2),可得f(x)不是(0,+∞)上的减函数.同理求得f(x)不是(0,+∞)上的增函数,从而该函数不是闭函数.(3)由题意,可得方程 在(1,m)上有两个不等的实根.利用基本不等式求得当x=2时,k取得最小值为5.再根据函数g(x)在(1,2)上递减,在(2,m)递增,而函数y=g(x)与y=k在(1,m)有两个交点,可得正整数m的最小值为3,此时,g(3)= ,由此求得k的范围.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数的定义域及其求法(求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①是整式时,定义域是全体实数;②是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1,零(负)指数幂的底数不能为零),还要掌握函数单调性的性质(函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集)的相关知识才是答题的关键.

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