Question

现有两个命题：
（1）若lgx+lgy=lg（x+y），且不等式y＞-2x+t恒成立，则t的取值范围是集合P；
（2）若函数f(x)=

x

x-1

，x∈（1，+∞）的图象与函数g（x）=-2x+t的图象没有交点，则t的取值范围是集合Q；
则以下集合关系正确的是（　　）

• A、P?Q
• B、Q?P
• C、P=Q
• D、P∩Q=∅

Answer 1

分析：由不等式y＞-2x+t恒成立，即y+2x＞t恒成立，转化为求y+2x的最小值即可；要使函数f(x)=

x

x-1

，x∈（1，+∞）的图象与函数g（x）=-2x+t的图象没有交点，先考虑有交点时t的取值范围，再考虑其补集．

解答：解：由lgx+lgy=lg（x+y），得xy=x+y，两边同除以xy得

1

x

+

1

y

=1，∴2x+y=（2x+y）(

1

x

+

1

y

)═3+

y

x

+

2x

y

≥3+2

2

，所以t＜3+2

2

；
又f(x)=

x

x-1

=1+

1

x-1

，g（x）=-2x+t
由f（x）=g（x），得

x

x-1

+2x=t-1，即

x

x-1

+2(x-1)=t-3≥2

2

，
∴函数f(x)=

x

x-1

，x∈（1，+∞）的图象与函数g（x）=-2x+t的图象没有交点时t的取值范围时t＜3+2

2

故选C．

点评：本题主要考查恒成立问题．利用基本不等式求最值，考查等价转化能力．