Question

已知a，b是异面直线，给出下列命题
①一定存在平面α过直线a且与b平行．
②一定存在平面α过直线a且与b垂直．
③一定存在平面α与直线a，b都垂直．
④一定存在平面α与直线a，b的距离相等．
其中正确命题的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用线面平行的判定定理和确定平面的条件，作出平面证明①的正确性；
对②用反证法思路判断即可；
对③只需用反证法证明即可；
对④作出平面，证明符合条件．

解答：解：∵过a上一点作b的平行线c，∵a与c相交（否则与a、b异面矛盾），∴a、c确定平面α，b∥α，∴①正确；
∵设存在平面α，a?α，b⊥α，则a⊥b，而异面直线a，b不一定垂直，∴②不正确；
∵设存在平面α，a⊥α，b⊥α则a∥b，与a、b异面矛盾，∴③不正确；
∵过异面直线公垂线段中点，且与公垂线垂直的平面，与直线a，b的距离相等，∴④正确．
故选B

点评：本题考查空间直线与平面的平行与垂直关系．