Question

已知正四面体ABCD的棱长为3cm．
（1）已知点E是CD的中点，点P在△ABC的内部及边界上运动，且满足EP∥平面ABD，试求点P的轨迹；
（2）有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm之后，求恰好回到A点的概率．

Answer 1

分析：（1）取BC中点M，连接EM，并取AC的中点Q，连QE，QM，根据线面平行的判定定理可得：EQ∥平面ABD，MQ∥平面ABD，再结合面面平行的判定定理得到：平面QEM∥平面ABD，进而得到点P的轨迹为线段QM．
（2）由题意可得：小虫共走过了4条棱，并且得到基本事件总数为81，再分别讨论当小虫走第1条棱时，第2条棱，第3条棱的所有走法，即可得到小虫走12cm后仍回到A点的所有走法为21种，进而根据等可能事件的概率公式求出答案．

解答：解：（1）取BC中点M，连接EM，并取AC的中点Q，连QE，QM，
所以EQ∥AD，EQ?平面ABD，AD?平面ABD，
所以EQ∥平面ABD．
同理可得：MQ∥平面ABD．
因为EQ，MQ为平面QEM内的两条相交直线，
所以平面QEM∥平面ABD，
所以得到点P的轨迹为线段QM．
（2）由题意可得：小虫爬了12cm，并且恰好回到A点，
所以小虫共走过了4条棱，
因为每次走某条棱均有3种选择，
所以所有等可能基本事件总数为3⁴=81．
当小虫走第1条棱时，有3种选择，即AB，AC，AD，不妨设小虫走了AB，
然后小虫走第2条棱为BA或BC或BD，
若第2条棱走的为BA，则第3条棱可以选择走AB，AC，AD，计3种可能；
若第2条棱走的为BC，则第3条棱可以选择走CB，CD，计2种可能；
同理第2条棱走BD时，第3棱的走法亦有2种选择．
所以小虫走12cm后仍回到A点的选择有3×（3+2+2）=21种可能．
所以所求的概率为

21

81

=

7

27

．

点评：本题主要考查线面平行与面面平行的判定定理，以及考查等可能事件的概率公式，解决此题的关键是仔细审题挖掘题中隐含条件，再结合列举的方法得到所求事件包含的基本事件数，在列举时要做到不重不漏有规律的列举，此题属于中档题．