Question

【题目】如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC点，F棱AC上，且AF=3FC．

（1）求三棱锥D﹣ABC的体积；
（2）求证：AC⊥平面DEF；
（3）若M为DB中点，N在棱AC上，且CN= CA，求证：MN∥平面DEF．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，

∴三棱锥D﹣ABC的体积V= =

（2）证明：取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．

∵AF=3FC，∴F为CH的中点．

∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．

∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．

∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．

∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．

∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF

（3）解：连CM，设CM∩DE=O，连OF．

由条件知，O为△BCD的重心，CO= CM．

当CN= CA时，CF= CN，∴MN∥OF．

∵MN平面DEF，OF平面DEF，

∴MN∥平面DEF．

【解析】（1）直接利用体积公式，求三棱锥D﹣ABC的体积；（2）要证AC⊥平面DEF，先证AC⊥DE，再证AC⊥EF，即可．（3）M为BD的中点，连CM，设CM∩DE=O，连OF，只要MN∥OF即可．