Question

【题目】已知函数f（x）=kex﹣x2（其中k∈R，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若k＜0，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若k=2，当x∈（0，+∞）时，试比较f（x）与2的大小；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2），求k的取值范围，并证明0＜f（x1）＜1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f′（x）=kex﹣2x可知，

当k＜0时，由于x∈（0，+∞），f′（x）=kex﹣2x＜0，

故函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．

（Ⅱ）当k=2时，f（x）=2ex﹣x2，则f′（x）=2ex﹣2x，

令h（x）=2ex﹣2x，h′（x）=2ex﹣2，

由于x∈（0，+∞），故h′（x）=2ex﹣2＞0，

于是h（x）=2ex﹣2x在（0，+∞）为增函数，

所以h（x）=2ex﹣2x＞h（0）=2＞0，即f′（x）=2ex﹣2x＞0在（0，+∞）恒成立，

从而f（x）=2ex﹣x2在（0，+∞）为增函数，

故f（x）=2ex﹣x2＞f（0）=2．

（Ⅲ）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是f′（x）=kex﹣2x=0的两个根，

即方程 有两个根，设 ，则 ，

当x＜0时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＜0；

当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＞0；

当x＞1时，φ′（x）＜0，函数φ（x）单调递减且φ（x）＞0．

要使 有两个根，只需 ．

故实数k的取值范围是 ．

又由上可知函数f（x）的两个极值点x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，

由 ，得 ，

∴ ，

由于x1∈（0，1），故 ，

所以0＜f（x1）＜1．

【解析】（Ⅰ）求导数f′（x），由于f′（x）＜0，即得f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；（Ⅱ）根据导函数即可判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，由单调性即可比较f（x）与2的大小；（Ⅲ）先求导数f′（x），由题意知x1、x2是方程f′（x）=0的两个根，令 ，利用导数得到函数φ（x）的单调区间，继而得到k的取值范围，由f′（x1）=0，则得 ，又由f（x1）=﹣（x1﹣1）2+1，x1∈（0，1），即可得到0＜f（x1）＜1．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的极值(极值反映的是函数在某一点附近的大小情况)的相关知识才是答题的关键．