Question

已知对任意平面向量

AB

=（x，y），我们把

AB

绕其起点A沿逆时针方向旋转θ角得到向量

AP

=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），称为

AB

逆旋θ角到

AP

．
（1）把向量

a

=（2，-1）逆旋

π

3

角到

b

，试求向量

b

．
（2）设平面内函数y=f （x）图象上的每一点M，把

OM

逆旋

π

4

角到

ON

后（O为坐标原点），得到的N点的轨迹是曲线x²-y²=3，当函数F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三个不同的零点时，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用新定义，结合向量

a

=（2，-1）逆旋

π

3

角到

b

，可求向量

b

；
（2）由题意函数F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三个不同的零点，等价于-

3λ

2

=x|x-1|-2x（x≠0）有三个不同实数解，结合函数的图象可得结论．

解答：解：（1）由题意，

b

=（2cos

π

3

+sin

π

3

，2sin

π

3

-cos

π

3

）=（

2+ 3

2

，

2 3 -1

2

）；
（2）设M（x，y），N（x₀，y₀），则x₀²-y₀²=3
∵

OM

逆旋

π

4

角到

ON

，∴（xcos

π

4

-ysin

π

4

，xsin

π

4

+ycos

π

4

）=（x₀，y₀），
∴x₀=

2

2

(x-y)，y₀=

2

2

(x+y)，
∵x₀²-y₀²=3，∴可得y=-

3

2x

，即f（x）=-

3

2x

函数F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三个不同的零点，等价于-

3λ

2

=x|x-1|-2x（x≠0）有三个不同实数解．
设g（x）=x|x-1|-2x=

(x- 3 2 )2- 9 4 ，x∈[1，+∞) -(x+ 1 2 )2+ 1 4 ，x∈(-∞，0)∪(0，1)

，图象如图
∵-

3λ

2

=x|x-1|-2x（x≠0）有三个不同实数解
∴-

9

4

＜-

3λ

2

＜

1

4

，且-

3λ

2

≠0
∴-

1

6

＜λ＜

3

2

，且λ≠0．

点评：本题考查新定义，考查数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．