Question

已知三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R）为奇函数，且在点（1，f（1））的切线方程为y=3x-2
（1）求函数f（x）的表达式．
（2）已知数列{a_n}的各项都是正数，且对于?n∈N^*，都有（

n

i=1

ai）²=

n

i=1

f(ai)，求数列{a_n}的首项a₁和通项公式．
（3）在（2）的条件下，若数列{b_n}满足b_n=4ⁿ-m•2 an+1（m∈R，n∈N^*），求数列{b_n}的最小值．

Answer 1

分析：（1）由奇函数性质得f（-x）=-f（x）恒成立，由此可求得b，d，根据点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-2，可得f′（1）=3，f（1）=1，解出即可；
（2）：（

n

i=1

ai）²=

n

i=1

f(ai)，即为Sn2=a13+a23+…+an3①，令n=1可求得首项a₁，当n≥2时，a13+a23+…+an-13=Sn-12②，①-②并化简可得an2=2S_n-a_n③，依此可得an-12=2S_n-1-a_n-1④，由③-④可得递推式，据此可判断数列为等差数列，从而可求得通项公式；
（3）由（2）易求得bn=4n-m•2n+1=（2ⁿ-m）²-m²（n∈N₊），令2ⁿ=t（t≥2），则b_n变为关于t的二次函数形式，在t≥2范围内对m进行分类讨论，注意t为大于等于2的正整数；

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x）恒成立，∴-ax³+bx²-cx+d=-（ax³+bx²+cx+d），
∴b=d=0，
∴f（x）=ax³+cx，
∴f'（x）=3ax²+c，
∵点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-2，
∴

f′(1)=3a+c=3 f(1)=a+c=1

，解得a=1，c=0，
∴f（x）=x³；
（2）由题意可知：（

n

i=1

ai）²=

n

i=1

f(ai)，
∴Sn2=a13+a23+…+an3①，
由①式可得a13=a12，
∵a₁＞0，∴a₁=1，
当n≥2时，a13+a23+…+an-13=Sn-12②，
由①-②可得：an3=Sn2-Sn-12=a_n（S_n+S_n-1），
∵数列{a_n}的各项都是正数，
∴an2=S_n+S_n-1=2S_n-a_n③，
∴an-12=2S_n-1-a_n-1④，
由③-④可得：an2-an-12=a_n+a_n-1，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是以首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n；
（3）∵a_n=n，∴b_n=4ⁿ-m•2an+1，∴bn=4n-m•2n+1=（2ⁿ-m）²-m²（n∈N₊），
令2ⁿ=t（t≥2），∴bn=(t-m)2-m2(t≥2)，
（i）当m≤2时，数列{b_n}的最小值为当n=1时，b_n=4-4m．
（ii）当m＞2时，
①若m=2^k（k∈N₊，k≥2）时，数列{b_n}的最小值为当n=k时，b_k=-m²，
②若m=

2k+2k+1

2

(k∈N+，k≥2)时，数列{b_n}的最小值为，当n=k时或n=k+1，
bk=bk+1=(2k-m)2-m2，
③若2k＜m＜

2k+2k+1

2

（k∈N₊，k≥2）时，数列{b_n}的最小值为，当n=k时，bk=(2k-m)2-m2，
④若

2k+2k+1

2

＜m＜2k+1（k∈N₊，k≥2）时，数列{b_n}的最小值为，当n=k+1时，bk+1=(2k+1-m)2-m²．

点评：本题考查数列与函数的综合、函数奇偶性的性质，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，本题综合性强，能力要求较高．