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已知过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+
15
4
x-9都切于点M,求切点M的坐标和a的值.
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程
专题:计算题,导数的概念及应用,直线与圆
分析:设出所求切线方程的切点坐标和斜率,把切点坐标代入曲线方程得到一个等式,根据切点坐标和斜率写出切线的方程,把切点坐标代入又得到一个等式,联立方程组即可求出切点的横坐标,进而得到切线的斜率,根据已知点的坐标和求出的斜率写出切线方程,再根据与y=ax2+
15
4
x-9都相切,联立方程组,△=0可求出所求.
解答: 解:设直线与曲线y=x3的切点M坐标为(x0,y0),
y0=x03
y0
x0-1
=3x02
,则切线的斜率k=3x02=0或k=
27
4

若k=0,此时切线的方程为y=0,
y=0
y=ax2+
15
4
x-9

消去y,可得ax2+
15
4
x-9=0,
其中△=0,即(
15
4
2+36a=0,
解可得a=-
25
64
,切点M(
24
5
,0);
若k=
27
4
,其切线方程为y=
27
4
(x-1),
y=
27
4
(x-1)
y=ax2+
15
4
x-9

消去y可得ax2-3x-
9
4
=0,
又由△=0,即9+9a=0,
解可得a=-1,切点M(-
3
2
,-
135
8
).
综上可得,a=-
25
64
,切点M(
24
5
,0)
和a=-1,切点M(-
3
2
,-
135
8
).
点评:本题主要考查了导数的几何意义,以及利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会根据一点坐标和斜率写出直线的方程,是一道综合题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

直线m⊥平面α,垂足是O,正四面体ABCD的棱长为4,点C在平面α上运动,点B在直线m上运动,则点O到直线AD的距离的取值范围是(  )
A、[
4
2
-5
2
4
2
+5
2
]
B、[2
2
-2,2
2
+2]
C、[
3-2
2
2
3+2
2
2
]
D、[3
2
-2,3
2
+2]

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科目:高中数学 来源: 题型:

下表为某专业的学生的毕业综合能力测试成绩(百分制)的频率分布表,已知80~90分数段的学生数为21人.
 分数段[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]
 频率0.05 0.2 0.25 0.2 0.15   0.05
(Ⅰ)求该专业毕业生综合能力测试成绩在90~95分数段内的人数;
(Ⅱ)现欲将90~95分数段内的毕业生派往甲、乙、丙三个单位,若向甲单位派往两名毕业生,且其中至少有一名男生的概率分为
3
5
.求90~95分数段内男女各几人?
(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下,设随机变量ξ表示派往乙单位的三名学生中男生的人数,求ξ的分布列和数学期望.

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已知不共线向量
a
b
AB
=t
a
-
b
(t∈R),
AC
=2
a
+3
b
,若A、B、C三点共线,则实数t等于
 

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函数f(x)=min{2
x
,|x-2|},其中min{a,b}=
a,a≤b
b,a>b
,若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,它们的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1•x2•x3最大值为
 

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已知Sn是正项数列{an}的前n项和,4Sn=(an+1)2
(1)求Sn
(2)设数列{bn}满足bn=
2
4Sn-1
,数列{bn}的前n项和为Tn,若不等式λTn<n+8对于任意n∈N*恒成立,试求λ的取值范围.
(3)设dn=
Sn
3
Sn
+1
,是否存在正整数m,n,且1<m<n,使的d1,dm,dn成等比数列?若存在,求出m,n的值,若不存在,请说明理由.

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已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=
a
2
n
+5an+6,且a3<13.
(1)求数列{an}的通项公式
(2)令bn=
1
2an+3+1
,求证:b1+b2+…+bn
1
31

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已知a为实数,函数f(x)=(x2+1)(x+a).
(1)若f′(-1)=0,求函数y=f(x)的单调区间及极值;
(2)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线,求a的取值范围.

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体育老师把9个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱中,要求每个箱子放球的个数不少于其编号,则不同的放球方法有
 
种.

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