如图,矩形所在的平面和平面
互相垂直,等腰梯形
中,
∥
,
=2,
,
,
,
分别为
,
的中点,
为底面
的重心.
(1)求证:∥平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
(1)见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)平行关系的证明问题问题,要注意三角形中位线定理的应用,注意平行关系的传递性,以及线线关系、线面关系、面面关系的相互转化;
(2)立体几何中的求角问题,往往有两种思路,即“几何法”和“向量法”.本题应用“几何法”,应注意“一作,二证,三计算”,注意在直角三角形中解决问题;
应用“向量法”,要注意利用已有的垂直关系,一建立空间直角坐标系.
本题建系后,确定点的坐标及平面的法向量为
, 及
计算得到 ,利用角的“互余”关系,即得直线
与平面
所成角的正弦值为
.
试题解析:(1)连结延长交
于
,则
为
的中点,又
为
的中点,
∴∥
,又∵
平面
,∴
∥平面
2分
连结,则
∥
,
平面
,
∥平面
4分
∴平面
∥平面
, 5分
平面
,
6分
(2)矩形
所在的平面和平面
互相垂直,
所以平面
,又
平面
,所以
7分
又,
,
,
由余弦定理知,
得
8分
∴
⊥平面
9分
所以为直线
与平面
所成的角, 10分
在直角三角形中
12分
法二:以为原点建立如图所示空间直角坐标系,
7分
设平面的法向量为
,
, 8分
由 所以
令,则
,所以
, 10分
∴ 11分
∴直线与平面
所成角的正弦值为
12分
考点:平行关系,空间的角,空间向量的应用.
科目:高中数学 来源:2013-2014学年山东省威海市高三3月模拟考试文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图,矩形所在的平面和平面
互相垂直,等腰梯形
中,
∥
,
=2,
,
,
,
分别为
,
的中点,
为底面
的重心.
(1)求证:平面平面
;
(2)求证: ∥平面
;
(3)求多面体的体积
.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年福建省宁德市高三普通班质量检测理科数学 题型:解答题
(本小题满分13分)
如图,矩形所在的平面与平面
垂直,且
,
,
,
分别为
的中点.
(Ⅰ) 求证:直线与平面
平行;
(Ⅱ)若点在直线
上,且二面角
的大小为
,试确定点
的位置.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年福建省宁德市高三普通班质量检测理科数学 题型:解答题
(本小题满分13分)
如图,矩形所在的平面与平面
垂直,且
,
,
,
分别为
的中点.
(Ⅰ) 求证:直线与平面
平行;
(Ⅱ)若点在直线
上,且二面角
的大小为
,试确定点
的位置.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分13分)
如图,矩形
所在的平面与平面
垂直,且
,
,
,
分别为
的中点.
(Ⅰ) 求证:直线与平面
平行;
(Ⅱ)若点在直线
上,且二面角
的大小为,试确定点
的位置.
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