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已知函数 $数学公式$
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性并用函数单调性定义加以证明；
（Ⅱ）若f（x）在 $数学公式$ 上的值域是 $数学公式$ ，求a的值；
（Ⅲ）当m，n∈（0，+∞），若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m＜n），求实数a的取值范围．

解：（1）证明：设x₂＞x₁＞0，则x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．
（2）∵f（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递增，∴ $\text{[math]}$ ，易得 $\text{[math]}$ ．
（3）依题意得 $\text{[math]}$
又∵0＜m＜n，∴方程ax²-x+a=0有两个不等正实数根x₁，x₂
又∵a＞0，对称轴 $\text{[math]}$
∴实数a的取值范围为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）定义法证明函数的单调性；
（2）f（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递增，值域是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
（3）f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m＜n）， $\text{[math]}$ ，方程ax²-x+a=0有两个不等正实数根x₁，x₂，可得答案．
点评：本题为函数单调性的证明，并利用单调性来解决问题，把方程有两实根转化为二次函数问题是解决问题的关键，属中档题．

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（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；
（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．

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（II）若对于任意的x∈（0，1），总有f（x）的函数值不小于1成立，求a的取值范围．

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已知函数（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性并用函数单调性定义加以证明；（Ⅱ）若f（x）在上的值域是，求a的值；（Ⅲ）当m，n∈（0，+∞），若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m＜n），求实数a的取值范围．