Question

一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个三棱柱的体积是48

3

，则这个球的体积是

32

3

π

．

Answer 1

分析：底面正三角形的内切圆的半径为球的半径，正三棱柱的高为球的直径，从而可得正三角形的边长为2

3

r，利用三棱柱的体积是48

3

，求得球的半径，即可球的体积．

解答：解：由题意，底面正三角形的内切圆的半径为球的半径，正三棱柱的高为球的直径
设球的半径为r，则正三角形的边长为2

3

r
∴三棱柱的体积是

3

4

×(2

3

r)2×2r=48

3

，
∴r=2
∴球的体积是

4

3

π×r3=

32

3

π
故答案为：

32

3

π

点评：本题考查球的体积，解题的关键是确定球的半径，正确运用球的体积公式．