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设函数f(x)=blnx-(x-1)2,其中b为常数.
(Ⅰ)若b=4,求函数f(x)的单调递减区间;
(II)若函数f(x)有极值点,求b的取值范围及f(x)的极值点;
(Ⅲ) 证明:对任意不小于3的正整数n,不等式ln(n+1)-lnn>
1n2
都成立.
分析:(Ⅰ)先求函数的导函数f′(x),b=4时,解不等式f′(x)<0,即可得函数的单调递减区间
(II)函数的定义域为(0,+∞),函数f(x)有极值点即方程f′(x)=0有正根,从而求得b的范围,但要求极值点,必须讨论极值点的个数,分两种情况分别讨论函数的单调区间,得相应的极值点
(Ⅲ)所证不等式即ln
n+1
n
-(
n+1
n
-1)2>0,结合(II),只需证明b=1,且n≥3时,f(
n+1
n
)>0,因为f(1)=0,故只需利用函数f(x)=lnx-(x-1)2在(1,
3
2
)上为增函数即可得证
解答:解:∵f′(x)=
b
x
-2(x-1)=
-2x2+2x+b
x

(Ⅰ)∵b=4∴f′(x)=
-2x2+2x+4
x
=
-2(x+1)(x-2)
x
 (x>0)
由f′(x)<0,得x>2
∴函数f(x)的单调递减区间为(2,+∞)
(II)∵函数f(x)有极值点,∴f′(x)=0有正根,
即2x2-2x-b=0有正根
∵y=2x2-2x-b的对称轴为
1
2
>0,
∴只需△=4+8b>0,∴b>-
1
2

①若-
1
2
<b<0,∵2x2-2x-b=0的两根之积为-
b
2
>0,∴此方程有两个正根
1-
2+2b
2
1+
2+2b
2

函数f(x)在(0,
1-
2+2b
2
)上为减函数,在(
1-
2+2b
2
1+
2+2b
2
)上为增函数,在(
1+
2+2b
2
,+∞)上为减函数
∴函数f(x)的极小值点为x=
1-
2+2b
2
,极大值点为x=
1+
2+2b
2

②若b≥0,∵2x2-2x-b=0的两根之积为-
b
2
≤0,∴此方程有一个正根
1+
2+2b
2

函数f(x)在(0,
1+
2+2b
2
)上为增函数,在(
1+
2+2b
2
,+∞)上为减函数
∴函数f(x)无极小值点,极大值点为x=
1+
2+2b
2

综上所述,-
1
2
<b<0时,函数f(x)的极小值点为x=
1-
2+2b
2
,极大值点为x=
1+
2+2b
2

b≥0时,函数f(x)无极小值点,极大值点为x=
1+
2+2b
2

(Ⅲ)令b=1,由(II)知,函数f(x)=lnx-(x-1)2在(0,
3
2
)上为增函数,在(
3
2
,+∞)上为减函数,且f(1)=0
令t=
n+1
n
(n≥3),则1<t<
3
2

∵函数f(x)=lnx-(x-1)2在(1,
3
2
)上为增函数,
∴f(t)>f(1)=0
即f(
n+1
n
)>0
即ln
n+1
n
-(
n+1
n
-1)2>0
∴对任意不小于3的正整数n,不等式ln(n+1)-lnn>
1
n2
都成立
点评:本题综合考查了利用导数求函数单调区间的方法,利用导数求函数的极值点的方法,利用导数证明不等式的方法.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=3x2+1,g(x)=2x,数列{an}满足对于一切n∈N*有an>0,且f(an+1)-f(an)=g(an+1+
3
2
)
.数列{bn}满足bn=logana,设k,l∈N*bk=
1
1+3l
bl=
1
1+3k

(1)求证:数列{an}为等比数列,并指出公比;
(2)若k+l=9,求数列{bn}的通项公式.
(3)若k+l=M0(M0为常数),求数列{an}从第几项起,后面的项都满足an>1.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
x(x2+3)
3x2+1
,数列{an}满足对于一切n∈N*有an>1,且an+1=f(an).数列{bn}满足,bn=
1
loga(ln
an-1
an+1
)
(a>0且a≠1)设k,l∈N*bk=
1
1+3l
bl=
1
1+3k

(Ⅰ)求证:数列{ln
an-1
an+1
}
为等比数列,并指出公比;
(Ⅱ)若k+l=5,求数列{bn}的通项公式;
(Ⅲ)若k+l=M0(M0为常数),求数列{abn}从第几项起,后面的项都满足abn>1

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=3x2+1,g(x)=2x,数列{an}满足对于一切n∈N*有an>0,且f(an+1)-f(an)=g(an+1+
3
2
)
.数列{bn}满足bn=logana,设k,l∈N*bk=
1
1+3l
bl=
1
1+3k

(1)求证:数列{an}为等比数列,并指出公比;
(2)若k+l=9,求数列{bn}的通项公式.

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科目:高中数学 来源:2011届高考数学第一轮复习测试题7 题型:044

(理)设函数f(x)=3x2+1,g(x)=2x,数列{an}满足条件:对于n∈N*,an>0,且f(an+1)-f(an)=g(an+1),又设数列{bn}满足条件:bn=logana(a>0且a≠1,n∈N*).

(1)求证:数列{an}为等比数列;

(2)求证:数列{}是等差数列;

(3)设k,L∈N*,且k+L=5,bk,bL,求数列{bn}的通项公式.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=3x2+1,g(x)=2x,数列{an}满足对于一切n∈N*有an>0,且f(an+1)-f(an)=g(an+1+
3
2
)
.数列{bn}满足bn=logana,设k,l∈N*bk=
1
1+3l
bl=
1
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(2)若k+l=9,求数列{bn}的通项公式.
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