Question

已知等比数列{a_n}的首项为a₁（a₁＞0），公比为q（0＜q＜1），且

5

i=1

ai=

121

81

，

5

i=1

1

ai

=121．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若从数列{a_n}中依次抽取的一个无穷等比数列，满足其所有项的和落在区间[

1

12

，

5

24

]内，试求出所有这样的等比数列．

Answer 1

分析：（1）先求得a3=

1

9

，进而可得方程a3(q2+q-2)+a3+a3(q+q-1)=

121

81

，由此求出公比，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）设无穷等比子列的首项为(

1

3

)m，公比为(

1

3

)k，且m、k∈N^*，则其所有项和

( 1 3 )m

1-( 1 3 )k

∈[

1

12

，

5

24

]，从而可得结论．

解答：解：（1）因为

5

i=1

ai=

121

81

，

5

i=1

1

ai

=121，所以a3=

1

9

，
∴a3(q2+q-2)+a3+a3(q+q-1)=

121

81

，解得q+q-1=

10

3

，
又0＜q＜1，所以q=

1

3

，此时，an=(

1

3

)n-1；
（2）设无穷等比子列的首项为(

1

3

)m，公比为(

1

3

)k，且m、k∈N^*，则其所有项和

( 1 3 )m

1-( 1 3 )k

∈[

1

12

，

5

24

]，
即

1

12

[1-(

1

3

)k]≤(

1

3

)m≤

5

24

[1-(

1

3

)k]，故

1

18

≤(

1

3

)m≤

5

24

，所以m=2，
此时-

1

3

≤(

1

3

)k≤

7

15

，所以k∈N^*，
所有满足题意的等比子列是以

1

9

为首项，(

1

3

)k（k∈N^*）为公比的等比数列．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式等基础知识，考查灵活运用基本量、有限与无限的数学思想进行运算求解、探索分析的综合能力．