分析:(1)直线y=x+1代入双曲线方程,利用韦达定理,即可求弦长;
(2)方法一:设直线的方程代入双曲线方程,利用韦达定理,可得关于k的表达式,消参,即可得到弦中点轨迹方程;
方法二:设弦的两个端点坐标,代入双曲线方程,利用点差法,即可求得结论.
解答:解:(1)由
得4x
2-(x+1)
2-4=0,即3x
2-2x-5=0(*)
设方程(*)的解为x
1,x
2,则有
x1+x2=,x1x2=-得,
d=|x1-x2|===(2)方法一:若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点,则设直线的方程为y=kx+1,它被双曲线截得的弦为AB对应的中点为P(x,y),
由
得(4-k
2)x
2-2kx-5=0(*)
设方程(*)的解为x
1,x
2,则△=4k
2+20(4-k
2)>0,
∴
16k2<80,|k|<,且
x1+x2=,x1x2=-,
∴
x=(x1+x2)=,y=(y1+y2)=(x1+x2)+1=,
即
,消去k得4x
2-y
2+y=0(y<-4或y>0).
方法二:设弦的两个端点坐标为A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),弦中点为P(x,y),则
,两式相减得:4(x
1+x
2)(x
1-x
2)=(y
1+y
2)(y
1-y
2),
∴
=,即
=,即4x
2-y
2+y=0(y<-4或y>0).
点评:本题考查直线与双曲线的位置关系,考查点差法的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.