Question

（1）求直线y=x+1被双曲线x2-

y2

4

=1截得的弦长；
（2）求过定点（0，1）的直线被双曲线x2-

y2

4

=1截得的弦中点轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）直线y=x+1代入双曲线方程，利用韦达定理，即可求弦长；
（2）方法一：设直线的方程代入双曲线方程，利用韦达定理，可得关于k的表达式，消参，即可得到弦中点轨迹方程；
方法二：设弦的两个端点坐标，代入双曲线方程，利用点差法，即可求得结论．

解答：解：（1）由

x2- y2 4 =1 y=x+1

得4x²-（x+1）²-4=0，即3x²-2x-5=0（*）
设方程（*）的解为x₁，x₂，则有x1+x2=

2

3

，x1x2=-

5

3

得，d=

2

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

4 9 + 20 3

=

8

3

2

（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为y=kx+1，它被双曲线截得的弦为AB对应的中点为P（x，y），
由

y=kx+1 x2- y2 4 =1

得（4-k²）x²-2kx-5=0（*）
设方程（*）的解为x₁，x₂，则△=4k²+20（4-k²）＞0，
∴16k2＜80，|k|＜

5

，且x1+x2=

2k

4-k2

，x1x2=-

5

4-k2

，
∴x=

1

2

(x1+x2)=

k

4-k2

，y=

1

2

(y1+y2)=

1

2

(x1+x2)+1=

4

4-k2

，
即

x= k 4-k2 y= 4 4-k2

，消去k得4x²-y²+y=0（y＜-4或y＞0）．
方法二：设弦的两个端点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦中点为P（x，y），则

4x12-y12=4 4x22-y22=4

，两式相减得：4（x₁+x₂）（x₁-x₂）=（y₁+y₂）（y₁-y₂），
∴

y1+y2

x1+x2

=

4(x1-x2)

y1-y2

，即

y

x

=

4x

y-1

，即4x²-y²+y=0（y＜-4或y＞0）．

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．