Question

【题目】如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，，平面ABC，D为PA中点，.

（1）求证：；

（2）求直线BD与平面PBC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

（1）推导出PA⊥BC，BC⊥AC，由此能证明BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC．

（2）推导出BC⊥平面PAC，从而平面PBC⊥平面PAC，作DE⊥PC于点E，连接BE，则DE⊥平面PBC，∠DBE是直线BD与平面PBC所成的角．由此能求出直线BD与平面PBC所成角的正弦值．

（1）平面

为圆的直径

又故平面

（2）由（1）知平面，又平面，

故平面平面

而平面平面，

作于点，连接，则平面

故是直线与平面所成的角．

由题意有，，

由与相似有，即

又

在中，

故直线BD与平面PBC所成角的正弦值是．