Question

给出下列四个命题：
①若z∈C，|z|²=z²，则z∈R；        
②若z∈C，

.

z

=-z，则z是纯虚数；
③若z∈C，|z|²=zi，则z=0或z=i；   
④若z₁，z₂∈C，|z₁+z₂|=|z₁-z₂|则z₁z₂=0．其中真命题的个数为（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：①令z=a+bi，则|z|²=a²+b²，z²=a²-b²+2abi，结合题中条件可得b=0，此时z为实数；
②令z=a+bi，当

.

z

=-z时，a=0，可得z可能是实数0也可能是纯虚数．
③令z=a+bi，当|z|²=a²+b²=ai-b时，可得z=0或z=-i．
④令z₁=1+i，z₂=1-i，若满足题中的条件则z₁z₂≠0．

解答：解：①若z∈C，令z=a+bi，则|z|²=a²+b²，z²=a²-b²+2abi，若|z|²=z²，则b=0，此时z为实数，所以①正确；
②若z∈C，令z=a+bi，当

.

z

=-z时，a=0，所以z=bi，则z可能是实数0也可能是纯虚数，所以②错误；
③若z∈C，令z=a+bi，当|z|²=a²+b²=ai-b时，则有a=0，b=0或b=-1，可得z=0或z=-i，所以③错误；
④若z₁，z₂∈C，令z₁=1+i，z₂=1-i，|z₁+z₂|=|z₁-z₂|，则z₁z₂≠0，所以④错误；
故选A．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握复数的基本概念与复数模的计算方法，以及复数的基本运算法则，解题方法一般是设z=a+bi再代入相关的方程得到关于a，b的方程，求出a，b的值即可解决问题．