Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E，F分别是AC、BB₁、CC₁的中点，
（1）求证：AE∥平面BDF；
（2）若AB=BC=AA₁=2，∠ABC=90°，求二面角A₁-BF-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要证AE∥平面BDF，只需在平面BDF内找到一条直线与AE平行即可，因为D为AC的中点，可思考连结CE，交BF于K，连结DK后利用三角形中位线知识证线线平行，从而得到线面平行；
（2）由已知条件证出A₁D⊥平面BDF，过D作DG⊥BF于G，连A₁G，则∠A₁GD为所求的二面角的平面角，然后利用求解直角三角形的知识求二面角A₁-BF-D的余弦值．

解答：（1）证明：如图，连CE交BF于K，连DK，EF，
∵BE∥CF，且BE=CF，∴四边形BEFC是平行四边形，∴K为CE的中点，
又D为AC的中点，∴DK∥AE，
∵DK?平面BDF，AE?平面BDF，
∴AE∥平面BDF；
（2）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，又AB=BC，D为AC的中点，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，A₁D?平面，∴A₁D⊥BD．
由AB=BC=AA₁=2，∠ABC=90°，可求得AD2=A1A2+AD2=4+(

2

)2=6
DF2=DC2+CF2=(

2

)2+1=3，A1F2=A1C12+C1F2=(2

2

)2+1=9．
所以A₁D⊥DF，又BD∩DF=D，∴A₁D⊥平面BDF，
过D作DG⊥BF于G，连A₁G，则∠A₁GD为所求的二面角的平面角．
在Rt△BDF中，BD=

2

，DF=

3

，BF=

5

，∴DG=

6

5

∵A1D=

6

，∴tan∠A1GD=

A1D

DG

=

5

，cos∠A1GD=

6

6

．
∴所求的二面角的余弦值为

6

6

．

点评：本题考查了直线和平面平行的判定，考查了二面角的平面角的求法，解答此题的关键是找二面角的平面角，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角平面角的常用方法，此题是中档题．