Question

【题目】如图，已知四棱锥S﹣ABCD，SB⊥AD，侧面SAD是边长为4的等边三角形，底面ABCD为菱形，侧面SAD与底面ABCD所成的二面角为120°．

（1）求点S到平面ABCD的距离；
（2）若E为SC的中点，求二面角A﹣DE﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图，作SO⊥平面ABCD，垂足为点O．

连接OB，OA，OD，OB与AD交于点F，连接SF．

∵SB⊥AD，

∴OB⊥AD．

∵SA=SD，

∴OA=OD．

∴点F为AD的中点，所以SF⊥AD．

由此知∠SFB为侧面SAD与底面ABCD所成的二面角的平面角，

∴∠SFB=120°，

∵侧面SAD是边长为4的等边三角形，

∴SF= =2 ，

∴SO=SFsin60°=2 =3，

即点S到平面ABCD的距离为3

（2）

解：如图以O为坐标原点，使y轴与BC平行，OB，OS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，

由已知得：A（ ，2，0），D（ ，0），C（3 ，﹣4，0），E（ ，﹣2， ），

=（0，﹣4，0）， =（ ，0， ）， =（﹣ ，2， ），

设平面ADE的法向量为 ，

则 令x= ，得 =（ ，0，﹣1）．

设平面DEC的法向量为 =（x，y，z），

则 ，令x= ，得 =（ ，3，﹣1），

设二面角的平面角为θ，

则cosθ= = = ，

∴sinθ= = ，

∴二面角A﹣DE﹣C的正弦值为

【解析】（1）解：作SO⊥平面ABCD，连接OB，OA，OD，OB与AD交于点F，连接SF．推导出OB⊥AD，SF⊥AD．从而∠SFB为侧面SAD与底面ABCD所成的二面角的平面角，由此能求出点S到平面ABCD的距离．（2）以O为坐标原点，使y轴与BC平行，OB，OS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣C的正弦值．