Question

如图，在四棱锥中，为平行四边形，且平面，，为的中点，．

(Ⅰ) 求证：//；
(Ⅱ)若， 求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；(Ⅱ) .

试题分析：（Ⅰ）依题意，设与的交点，说明为的中位线，//，从而//；(Ⅱ) 用定义法与向量法求解，用定义法，必须作出二面角的平面角，在利用相似三角形对应边成比例及直角三角形中三角函数的定义求解；用向量法，需要建立恰当的空间直角坐标系，本题以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系最佳，求平面的法向量与平面的一个法向量为， 利用公式求解.
试题解析：（Ⅰ）证明： 连接，设与相交于点，连接，

∵ 四边形是平行四边形，∴点为的中点．
∵为的中点，∴为的中位线，
∴//，             2分
∵，
∴//．          4分
(Ⅱ) 解法一 ： ∵平面，//， 则平面，故，
又, 且，
∴ ．               6分
取的中点，连接，则//，且 ．
∴ ．
作，垂足为，连接，由于，且，
∴，∴ ．
∴为二面角的平面角．    9分
由∽，得，得，
在中，．
∴ 二面角的余弦值为．      12分
(Ⅱ) 解法二： ∵平面，， 则平面，故，
又, 且，∴．            6分

以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．则，，，，， 
∴， ，
求得平面的法向量为，
又平面的一个法向量为，
∴  .    
∴ 二面角的余弦值为.    12分