【题目】已知椭圆过点 ,且离心率为.设为椭圆的左、右顶点,P为椭圆上异于的一点,直线分别与直线相交于两点,且直线与椭圆交于另一点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求证:直线与的斜率之积为定值;
(Ⅲ)判断三点是否共线,并证明你的结论.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)(Ⅲ)三点共线
【解析】
(Ⅰ)根据已知条件列a、b、c的方程组,求a、b、c的值,可得椭圆标准方程(Ⅱ)设点P坐标为(x0,y0),将点P的坐标代入椭圆方程可得x0与y0的等量关系,然后利用斜率公式,结合等量关系可证出结论;(Ⅲ)设直线AP的方程为y=k(x﹣2)(k≠0),得直线BP方程,与直线x=2联立,分别求点M、N坐标,然后求直线MN斜率,写直线HM的方程,并与椭圆方程联立,利用韦达定理可求点H坐标,计算AH和AN的斜率,利用这两直线斜率相等来证明结论成立.
解:(Ⅰ)根据题意可知解得
所以椭圆的方程.
(Ⅱ)根据题意,直线的斜率都存在且不为零.
设,则 .
则.
因为,所以.
所以.
所以直线与的斜率之积为定值.
(III)三点共线.证明如下:
设直线的方程为,则直线的方程为.
所以,,.
设直线,
联立方程组消去整理得,.
设,则所以,.
所以.
因为,,
,.
所以,所以三点共线.
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【题目】已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.
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【题目】如图,在五面体中,四边形是边长为的正方形,平面⊥平面, .
(Ⅰ) 求证:;
(Ⅱ) 求证:平面⊥平面;
(Ⅲ) 在线段上是否存在点,使得⊥平面? 说明理由.
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【题目】为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中,参考的文科生与理科生人数之比为,且成绩分布在的范围内,规定分数在50以上(含50)的作文被评为“优秀作文”,按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图,如图所示.其中构成以2为公比的等比数列.
(1)求的值;
(2)填写下面列联表,能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关?
文科生 | 理科生 | 合计 | |
获奖 | 6 | ||
不获奖 | |||
合计 | 400 |
(3)将上述调查所得的频率视为概率,现从全市参考学生中,任意抽取2名学生,记“获得优秀作文”的学生人数为,求的分布列及数学期望.
附:,其中.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】已知椭圆的离心率,是椭圆上一点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线的斜率为,且直线交椭圆于、两点,点关于原点的对称点为,点是椭圆上一点,判断直线与的斜率之和是否为定值,如果是,请求出此定值,如果不是,请说明理由.
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【题目】某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传,在一年内预计销量(万件)与广告费(万元)之间的函数关系为,已知生产此产品的年固定投入为万元,每生产1万件此产品仍需要再投入30万元,且能全部销售完,若每件甲产品销售价格(元)定为:“平均每件甲产品生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和,则当广告费为1万元时,该企业甲产品的年利润比不投入广告费时的年利润增加了__________万元.
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【题目】成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列{Sn+}是等比数列.
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