Question

（1）已知x＞0，y＞0，求证

x2

x+y

≥

3x-y

4

；（2）已知a、b是正数，求证

a2

b

+

b2

a

＞a．

Answer 1

分析：（1）根据 x＞0，y＞0，

x2

x+y

-

3x-y

4

=

4x2-(x+y)(3x-y)

4(x+y)

=

(x-y)2

4(x+y)

≥0，从而得到

x2

x+y

≥

3x-y

4

成立．
2）由于 a、b是正数，可得（a-b）²（a+b）≥0，即 a³+b³-a²b-ab²≥0，移项两边同时除以ab 可得

a2

b

+

b2

a

≥a+b＞a．

解答：证明：（1）∵x＞0，y＞0，

x2

x+y

-

3x-y

4

=

4x2-(x+y)(3x-y)

4(x+y)

=

(x-y)2

4(x+y)

≥0，
∴

x2

x+y

≥

3x-y

4

成立．
证明：（2）∵a、b是正数，∴（a-b）²（a+b）≥0，∴a³+b³-a²b-ab²≥0，
∴a³+b³≥a²b+ab²，两边同时除以ab 可得 

a2

b

+

b2

a

≥a+b＞a，故

a2

b

+

b2

a

＞a 成立．

点评：本题主要考查用比较法和综合法证明不等式，注意这两种方法间的关系是互逆的，属于中档题．