Question

1．某单位用铁丝制作如图所示框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：米）的矩形，上部是一个半圆形，要求框架所围成的总面积为8m²
（1）将y表示成x的函数，并求定义域；
（2）问x、y分别为多少时用料最省？（精确到0.001m）．

Answer 1

分析 （1）通过对xy+$\frac{1}{2}$•π•$（\frac{x}{2}）^{2}$=8变形、计算即得结论；
（2）通过（1）可知框架用料l=（2+$\frac{π}{4}$）x+$\frac{16}{x}$，进而利用基本不等式计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，xy+$\frac{1}{2}$•π•$（\frac{x}{2}）^{2}$=8，
整理得：y=$\frac{8-\frac{π}{8}•{x}^{2}}{x}$=$\frac{8}{x}$-$\frac{π}{8}$•x，
定义域为：0＜x＜$\frac{8\sqrt{π}}{π}$；
（2）由（1）可知框架用料l=2x+2y+$\frac{1}{2}$•2π•$\frac{x}{2}$
=2x+2（$\frac{8}{x}$-$\frac{π}{8}$•x）+$\frac{π}{2}$•x
=（2+$\frac{π}{4}$）x+$\frac{16}{x}$
≥2$\sqrt{（2+\frac{π}{4}）x•\frac{16}{x}}$
=4$\sqrt{8+π}$，
当且仅当（2+$\frac{π}{4}$）x=$\frac{16}{x}$，即x=$\frac{8}{\sqrt{8+π}}$时取等号，
此时x≈2.397m，y=$\sqrt{8+π}$-$\frac{π}{\sqrt{8+π}}$=$\frac{8}{\sqrt{8+π}}$≈2.397m，
故当x=y≈2.397m时用料最省．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．