Question

如图，在直角坐标系xoy中，坐标原点O（0，0），以动直线l：y=mx+n（m，n∈R）为轴翻折，使得每次翻折后点O都落在直线y=2上．
（1）求以（m，n）为坐标的点的轨迹G的方程；
（2）过点E（0，

5

4

）作斜率为k的直线交轨迹G于M，N两点；（ⅰ）当+MN|=3时，求M，N两点的纵坐标之和；（ⅱ）问是否存在直线，使△OMN的面积等于某一给定的正常数，说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）因为每次翻折后点O都落在直线y=2上．所以消参法求轨迹方程．
（2）（ⅰ）可先设出直线MN方程为y=kx+

5

4

，与（1）中所得轨迹方程联立，得到带参数k的一元二次方程，再用弦长公式求MN长，所求长度等于3，则得到关于k的方程，在解方程，即可得到k值进而求出M，N纵坐标之和．
（ⅱ）先假设存在直线，使△OMN的面积等于某一给定的正常数，再通过计算△OMN的面积，来判断假设是否正确．

解答：解：（1）设点O翻折后的坐标为（x₀，2），当x₀≠0时，有

mx0

2

+n=1，

2

x0

• m=-1，消去x₀，得，
n=m²+1．
当x₀=0时，得m=0，n=1．
综上，动点的轨迹方程为y=x²+1．
（2）（ⅰ）设过点E（0，

5

4

）作斜率为k的直线方程y=kx+

5

4

，M（x₁，y₁，），N（x₂，y₂），
由

y=x2+1   y=kx+ 5 4

得，x²-kx-

1

4

=0
x₁+x₂=k，x₁x₂=-

1

4

．
|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=1+k²=3，∴k²=2．
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+

5

2

=k²+

5

2

=

9

2

（ⅱ）O点到直线y=kx+

5

4

的距离d=

5

4 1+ k2

，使△OMN的面积S=

1

2

|MN|d=

5

8

1+k2

≥

5

8

a＞

5

8

时，存在两条直线满足条件
a=

5

8

时，存在一条直线满足条件
a＜

5

8

时，不存在直线满足条件．

点评：本题主要考查了消参法求轨迹方程，以及弦长公示的利用，计算量较大，须认真计算，避免出错．