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    对于数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；类似的，规定{△2an}为数列{an}的二阶差分数列，其中△2an=△an+1-△an（n∈N*）．
    （Ⅰ）已知数列{an}的通项公式an=3n2-5n（n∈N*），试证明{△an}是等差数列；
    （Ⅱ）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n（n∈N*），令bn=
    an
    2n
    ，求数列{bn}的通项公式；
    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记cn=
    a1(n=1)
    2n-1
    △an
    (n≥2，n∈N*
    ，求证：c1+
    c2
    2
    +…+
    cn
    n
    ＜
    17
    12
    ．
    分析：（Ⅰ）根据题意△an=an+1-an=（n+1）2-（n+1）-n2+n=5n-4，所以△an+1-△an=6．由此能够证明{△an}是等差数列；
    （Ⅱ）由△2 an-△an+1+an=-2n，知△an-an=2n．由此入手能够求出数列{an}的通项公式，从而求数列{bn}的通项公式；
    （Ⅲ）由an=n•2n-1，cn=
    a1(n=1)
    2n-1
    △an
    (n≥2，n∈N*)
    =
    1(n=1)
    2n-1
    an+1-an
    (n≥2，n∈N*)
    =
    1(n=1)
    1
    n+2
    (n≥2，n∈N*)
    ，当n≥2，n∈N*时，
    cn
    n
    =
    1
    n(n+2)
    =
    1
    2
    (
    1
    n
    -
    1
    n+2
    )    ，从而可证．
    解答：解：（Ⅰ）根据题意：△an=an+1-an=3（n+1）2-5（n+1）-3n2+5n=6n-2．（2分）
    ∴△an+1-△an=6
    ∴数列{△an}是首项为4，公差为6的等差数列．（3分）
    （Ⅱ）由△2an-△an+1+an=-2n，∴△an+1-△an-△an+1+an=-2n，?△an-an=2n．
    而△an=an+1-an，∴an+1-2an=2n，（5分）
    ∴
    an+1
    2n+1
    -
    an
    2n
    =
    1
    2
    ，即bn+1-bn=
    1
    2
    ，（6分）
    ∴数列{bn}构成以
    1
    2
    为首项，
    1
    2
    为公差的等差数列，即bn=
    n
    2
    ．（7分）
    （Ⅲ）由（Ⅱ）知
    an
    2n
    =
    n
    2
    ，则an=n•2n-1，
    ∴c=
    a1(n=1)
    2n-1
    △an
    (n≥2，n∈N*
    =
    1(n=1)
    2n-1
    an+1-an
    (n≥2，n∈N*
    =
    1(n=1)
    1
    n+2
    (n≥2，n∈N*
    （9分）
    ∴当n≥2，n∈N*时
    cn
    n
    =
    1
    n(n+2)
    =
    1
    2
    （
    1
    n
    -
    1
    n+2
    ），
    ∴c1+
    c2
    2
    ++
    cn
    n
    =1+
    1
    2
    [（
    1
    2
    -
    1
    4
    ）+（
    1
    3
    -
    1
    5
    ）+（
    1
    4
    -
    1
    6
    ）++（
    1
    n-1
    -
    1
    n+1
    ）+（
    1
    n
    -
    1
    n+2
    ）]
    =1+
    1
    2
    （
    1
    2
    +
    1
    3
    -
    1
    n+1
    -
    1
    n+2
    ）＜1+
    1
    2
    （
    1
    2
    +
    1
    3
    ）=
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    ．
    当n=1时，c1=1＜
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    ，显然成立
    ∴c1+
    c2
    2
    ++
    cn
    n
    ＜
    17
    12
    ．（12分）
    点评：第（Ⅰ）题考查等差数列的证明，解题时要注意等差数列性质的合理运用；第（Ⅱ）题考查数列通项公式的求解方法，解题时要注意构造法的合理运用；第（Ⅲ）题考查数列前n项和的证明，解题时要注意裂项求和法的合理运用．
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    （Ⅰ）已知数列{an}的通项公式an=
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    2
    n2-
    13
    2
    n（n∈N*），试证明{△an}是等差数列；
    （Ⅱ）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-an+1+an=-2n（n∈N*），求数列{an}的通项公式；
    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记bn=
    a1(n=1)
    2n-1
    △an
    (n≥2，n∈N*)
    ，求证：b1+
    b2
    2
    +…+
    bn
    n
    ＜
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    12
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

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    （Ⅰ）已知数列{an}的通项公式an=数学公式n2-数学公式n（n∈N*），试证明{△an}是等差数列；
    （Ⅱ）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-an+1+an=-2n（n∈N*），求数列{an}的通项公式；
    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记bn=数学公式，求证：b1+数学公式+…+数学公式＜数学公式．

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    科目：高中数学 来源：0117 期中题 题型：解答题

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    （1）
    （2）若数列的首项，且满足 ，求数列及的通项公式；
    （3）在（2）的条件下，判断是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在说明理由。

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    科目：高中数学 来源：2011年四川省眉山市高考数学二模试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    对于数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；类似的，规定{△2an}为数列{an}的二阶差分数列，其中△2an=△an+1-△an（n∈N*）．
    （Ⅰ）已知数列{an}的通项公式an=3n2-5n（n∈N*），试证明{△an}是等差数列；
    （Ⅱ）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n（n∈N*），令bn=，求数列{bn}的通项公式；
    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记cn=，求证：c1++…+＜．

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