Question

（1）（如图1）在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别是边AB，BC上的点，且AE=BF=1，过线段EF上的点P分别作DC，AD的垂线，垂足为M，N，延长NP交BC于Q，试写出矩形PMDN的面积y与FQ的长x之间的函数关系，并求出y的最大值．
（2）（如图2）在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别是边AB，BC上的点，且AE=BF=x，设多边形的面积为y，当x为何值时，多边形AEFCD的面积最小？

Answer 1

分析：（1）根据图象中的平行关系，确定矩形的边长，进而可求面积，由此可得面积的最值；
（2）确定多边形AEFCD的面积，利用基本不等式可求最值．

解答：解：（1）由题意，∵PQ∥BE，∴

x

1

=

PQ

3

，∴PQ=3x，∴PN=4-3x
∵DN=4-AN=4-（1-x）=3+x，
∴矩形PMDN的面积y=（4-3x）（3+x）（0≤x≤1）
∴y=-3(x+

5

6

)2+

169

12

∵0≤x≤1，∴x=0时，y_max=12；
（2）多边形AEFCD的面积等于正方形的面积减去三角形的面积，所以y=16-

1

2

（4-x）x
∵

1

2

（4-x）x≤

1

2

(

4-x+x

2

)2=2（当且仅当x=2时，取等号）
∴y≥16-2=14
∴x=2时，y_min=14

点评：本题考查面积的计算，考查函数模型的构建，考查函数最值的求解，属于中档题．