Question

定义在R上的函数f（x），其周期为4，且当x∈[-1，3]时，f（x）=

1-x2      x∈[-1，1] 1-|x-2|   x∈(1，3]

，若函数g（x）=f（x）-kx-k恰有4个零点，则实数k的取值范是（　　）

• A、（-

  2

  4

  ，-

  1

  5

  ）
• B、（

  6

  12

  ，

  1

  3

  ）
• C、（-

  2

  4

  ，-

  1

  5

  ）∪（

  6

  12

  ，

  1

  3

  ）
• D、（

  1

  5

  ，

  1

  3

  ）∪（-

  1

  3

  ，-

  1

  5

  ）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的周期性作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：由g（x）=f（x）-kx-k=0
得f（x）=kx+k=k（x+1），
设y=h（x）=k（x+1），则直线h（x）过点（-1，0），
∵函数f（x）的周期是4，
∴作出函数f（x）的图象如图：
①若直线斜率k=0时，不满足条件，
②若k＞0，当直线经过点A（2，1）时，此时直线和函数f（x）有3个不同的交点，此时由3k=1，解得k=

1

3

，
当直线在B处与半圆相切时，直线和函数f（x）有5个不同的交点，
此时圆心（4，0）到直线kx-y+k=0的距离d=

|4k+k|

1+k2

=1，
即|5k|=

1+k2

，解得k=

6

12

，此时若满足条件，则

6

12

＜k＜

1

3

，
③若k＜0，当直线经过点D（-6，1）时，此时直线和函数f（x）有5个不同的交点，此时由-5k=1，解得k=-

1

5

，
当直线在C处与半圆相切时，直线和函数f（x）有3个不同的交点，
此时圆心（-4，0）到直线kx-y+k=0的距离d=

|-4k+k|

1+k2

=

|3k|

1+k2

=1，
即|3k|=

1+k2

，解得k=-

2

4

，此时若满足条件，则-

2

4

＜x＜-

1

5

，
综上k∈（-

2

4

，-

1

5

）∪（

6

12

，

1

3

），
故选：C

点评：本题主要考查函数零点和方程的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．