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16.如图是一幅椭圆形彗星轨道图,长4cm,高2$\sqrt{3}$cm,已知O为椭圆的中心,A1,A2是长轴两端点,太阳位移椭圆的左焦点F处.
(1)建立适当的坐标系,求椭圆的方程;
(2)求彗星运行到太阳正上方时两者在图上的距离.

分析 (1)如图所示,可设椭圆的标准方程为:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0),由题意可得:2a=4,2$\sqrt{3}$=2b,解出即可得出.
(2)c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1,可得F(1,0).把x=1代入椭圆标准方程解出即可得出.

解答 解:(1)如图所示,
可设椭圆的标准方程为:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0),
∵2a=4,2$\sqrt{3}$=2b,
解得a=2,b=$\sqrt{3}$.
∴椭圆的标准方程为:$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1.
(2)c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1,
∴F(1,0).
把x=1代入椭圆标准方程可得$\frac{1}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1,
解得y=±$\frac{3}{2}$.
∴彗星运行到太阳正上方时两者在图上的距离=$\frac{3}{2}$.

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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