Question

1．已知函数$f（x）=\frac{2^x}{a}+\frac{a}{2^x}-1\;\;\;（{a＞0}）$是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）解不等式$f（x）＜\frac{13}{4}$；
（3）若关于x的不等式mf（x）≥2^-x-m在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性求出a的值即可；
（2）设2^x=t，则不等式即为${t^2}-\frac{17}{4}t+1＜0⇒\frac{1}{4}＜t＜4$，再解关于x的不等式即可；
（3）问题转化为m≥$\frac{{2}^{-x}}{{2}^{x}{+2}^{-x}}$在（0，+∞）恒成立，设t=2^x，（t＞1），则m≥$\frac{1}{{t}^{2}+1}$在t＞1恒成立，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x）恒成立，
∴f（-x）-f（x）=0恒成立，
∴$\frac{2^x}{a}+\frac{a}{2^2}=\frac{{{2^{-x}}}}{a}+\frac{a}{{{2^{-x}}}}$，恒成立，
即$（{\frac{1}{a}-a}）（{{2^x}-{2^{-x}}}）=0$恒成立，
$⇒\frac{1}{a}-a=0⇒a=±1$，
∵a＞0，∴a=1，∴a=1；
（2）由（1）知$f（x）={2^x}+{2^{-x}}＜\frac{17}{4}⇒{（{2^x}）^2}-\frac{17}{4}•{2^x}+1＜0$，
设2^x=t，则不等式即为${t^2}-\frac{17}{4}t+1＜0⇒\frac{1}{4}＜t＜4$，
∴$\frac{1}{4}＜{2^x}＜4⇒-2＜x＜2$，
所以原不等式解集为（-2，2）；
（3）f（x）=2^x+2^-x-1，
mf（x）≥2^-x-m，
即m≥$\frac{{2}^{-x}}{{2}^{x}{+2}^{-x}}$在（0，+∞）恒成立，
设t=2^x，（t＞1），则m≥$\frac{1}{{t}^{2}+1}$在t＞1恒成立，
故$m≥\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判定和运用，考查函数单调性的运用和函数恒成立问题的解法，属于中档题．