Question

（2009•长宁区二模）如图，曲线C：y=2^x（0≤x≤2）两端分别为M、N，且NA⊥x轴于点A．把线段OA分成n等份，以每一段为边作矩形，使与x轴平行的边一个端点在曲线C上，另一端点在曲线C的下方，设这n个矩形的面积之和为S_n，则

lim

n→∞

[(2n-3)(

n	4

-1)Sn]=

12

．

Answer 1

分析：根据题意可知从原点出发，矩形的高成等比数列，首项为1，公比为2 

2

n

，进而根据矩形面积公式，通过等比数列的求和公式求得S_n，最后利用数列极限得出答案．

解答：解：依题意可知从原点出发，矩形的高成等比数列，首项为1，公差为 2 

2

n

，则
S_n=

2

n

[1+2 

2

n

+2

4

n

+…+2

2n-2

n

]=

2

n

×

1-2 2n n

1-2 2 n

=

2

n

×

-3

1- n 4

．
∴

lim

n→∞

[(2n-3)(

n	4

-1)Sn]=

lim

n→∞

[(2n-3)(

n	4

-1)

2

n

×

-3

1- n 4

]=12
故答案为12．．

点评：本题主要考查了等差数列的求和、考查定积分在求面积中的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．