Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数，则对于函数有下列四个命题：

命题1：存在实数使得函数没有零点

命题2：存在实数使得函数有个零点

命题3：存在实数使得函数有个零点

命题4：存在实数使得函数有个零点

其中，正确的命题的个数是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

画出f(x)图像，令t=问题转化为a=，即直线y=a与h(t)=交点问题的讨论，及t与的交点个数问题.

时，有.

单调递减；单调递增.

.

由题画出f(x)图像如图所示：

令t=则a==,h(t)图像如图：

当a>时，y=a与y=无交点，所以t=无解，故命题1正确；

当a=-2时，y=-2与y=交点为横坐标为t=-1或t=2,此时t=-1和t=2分别与y=f(x)有一个交点，即t=有两个零点，命题2正确；

当a=0时，y=0与y=交点横坐标为t=0或t=1,,此时t=0或t=1分别与y=f(x)有2个交点，即t=共4个零点，命题3正确；

当0<a< y=a与y=交点有两个，横坐标均满足0<t<1，此时t与y=f(x)分别有3个交点，即t=有6个零点，故命题4正确

故选：D.