Question

15．已知x、y∈（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），且x•y=1，则$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{y}^{2}}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{20}{7}$
• B． $\frac{12}{7}$
• C． $\frac{16+4\sqrt{2}}{7}$
• D． $\frac{16-4\sqrt{2}}{7}$

Answer 1

分析 利用柯西不等式可得（m+n）（$\frac{{a}^{2}}{m}$+$\frac{{b}^{2}}{n}$）=（a+b）²．由题意，$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{y}^{2}}$=$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{2}{2-\frac{1}{2}{y}^{2}}$≥$\frac{（\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}}{（2-{x}^{2}）+（2-\frac{1}{2}{y}^{2}）}$，即可得出结论．

解答 解：利用柯西不等式可得（m+n）（$\frac{{a}^{2}}{m}$+$\frac{{b}^{2}}{n}$）=（a+b）²．
由题意，$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{y}^{2}}$=$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{2}{2-\frac{1}{2}{y}^{2}}$≥$\frac{（\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}}{（2-{x}^{2}）+（2-\frac{1}{2}{y}^{2}）}$=$\frac{8}{4-（{x}^{2}+\frac{1}{2}{y}^{2}）}$
≥$\frac{8}{4-\sqrt{2}xy}$=$\frac{8}{4-\sqrt{2}}$=$\frac{16+4\sqrt{2}}{7}$．
故选：C．

点评 本题考查柯西不等式的运用，考查求最小值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．