Question

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对于x＞0满足f（

x

y

）=f（x）-f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，试求解不等式f（x+3）-f（

1

x

）＜2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=1，能求出f（1）．
（2）原不等式可以转化为f（

x2+3x

6

）＜f（6），根据函数的单调性得到关于x的不等式组，解得即可．

解答： 解：（1）∵f（

x

y

）=f（x）-f（y），
令x=y=1，得f（1）=f（1）-f（1），
∴f（1）=0．
（2）∵f（6）=1，
∴f（x+3）-f（

1

x

）＜2=f（6）+f（6），
∴f（x²+3x）-f（6）＜f（6），
即：f（

x2+3x

6

）＜f（6），
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴

x2+3x 6 ＞0 x2+3x 6 ＜6

∴解得0＜x＜

-3+3 17

2

．
故不等式的解集为（0，

-3+3 17

2

）．

点评：本题考查抽象函数的函数值的解法，考查不等式的解法．解题时要认真审题，注意抽象函数的性质的灵活运用．