Question

12．若α，β∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，且αsinα-βsinβ＞0，则下列关系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α²＞β²；⑤α²≤β²
其中正确的序号是：④．

Answer 1

分析 构造函数f（x）=xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判断f（x）=xsinx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，与x∈[-$\frac{π}{2}$，0]上的单调性，从而可选出正确答案．

解答 解：令f（x）=xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∵f（-x）=-x•sin（-x）=x•sinx=f（x），
∴f（x）=xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]为偶函数．
又f′（x）=sinx+xcosx，
∴当x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，$\frac{π}{2}$]单调递增；
同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈[-$\frac{π}{2}$，0]单调递减；
∴当0≤|β|＜|α|≤$\frac{π}{2}$时，f（α）＞f（β），即αsinα-βsinβ＞0，反之也成立，
∴α²＞β²．
故答案为④．

点评 本题考查正弦函数的单调性，难点在于构造函数f（x）=xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，通过研究函数f（x）=xsinx，的奇偶性与单调性解决问题，属于难题．