Question

【题目】已知抛物线=的焦点为坐标原点, 是抛物线上异于的两点．

(1)求抛物线的方程;

(2)若直线的斜率之积为,求证:直线过轴上一定点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：本题主要考查抛物线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的方程与斜率,考查了定点问题.(1)由抛物线的焦点坐标可得p的值,即可得抛物线方程;(2)分直线的斜率存在与不存在两种情况,结合直线的斜率之积为进行讨论.

试题解析：

(1)因为抛物线的焦点坐标为,

所以,所以,

所以抛物线的方程为.

(2)证明:①当直线的斜率不存在时,

设.

因为直线的斜率之积为,

所以=,化简得,

所以,此时直线的方程为.

②当直线的斜率存在时,

设其方程为= ,

联立方程组消去,

得,

根据根与系数的关系得,因为直线的斜率之积为,

所以=,即,即,

解得 (舍去)或,

所以==,即,

所以,即,

综上所述,直线过定点．