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8.已知Sn为数列{an}的前n项和满足an>0,${a_n}^2+2{a_n}=4{S_n}+3$.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$,求数列{bn}的前n项和.

分析 (I)利用等差数列的通项公式与递推关系即可得出.
(II)利用“裂项求和”方法即可得出.

解答 解:(Ⅰ)当n=1时,${a_1}^2+2{a_1}=4{S_1}+3=4{a_1}+3$,∵an>0,∴a1=3,
当n≥2时,${a_n}^2+2{a_n}-{a_{n-1}}^2-2{a_{n-1}}=4{S_n}+3-4{S_{n-1}}-3$,
即(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1),
∵an>0,∴an-an-1=2,因此数列{an}是首项为3,公差为2的等差数列,
∴an=2n+1.
(II)解:${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3})$,
∴数列{bn}的前n项和=$\frac{1}{2}[(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})$+…+$(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3})]$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3})$=$\frac{n}{6n+9}$.

点评 本题考查了等差数列的通项公式与递推关系、“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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