Question

（2010•江西模拟）在正三棱锥S-ABC中，M为棱SC上异于端点的点，且SB⊥AM，若侧棱SA=

3

，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是

9π

．

Answer 1

分析：根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC⊥SB，结合SB⊥AM，得到SB⊥平面SAC，因此可得SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC的外接球的表面积．

解答：解：取AC中点，连接BN、SN
∵N为AC中点，SA=SC
∴AC⊥SN，同理AC⊥BN，
∵SN∩BN=N
∴AC⊥平面SBN
∵SB?平面SBN
∴AC⊥SB
∵SB⊥AM且AC∩AM=A
∴SB⊥平面SAC⇒SB⊥SA且SB⊥AC
∵三棱锥S-ABC是正三棱锥
∴SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．
∵侧棱SA=

3

，
∴正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：2R=

SA2+SB2+SC2

=3
外接球的半径为R=

3

2

∴正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是S=4πR²=9π
故答案为9π

点评：本题以正三棱锥中的垂直关系为例，考查了空间线面垂直的判定与性质，以及球内接多面体等知识点，属于中档题．