Question

甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，比赛规则是5局3胜制（如果甲或乙无论谁先胜3局，则宣告比赛结束），假定每一局比赛中甲获胜的概率是

2

3

，乙获胜的概率是

1

3

，试求：
（Ⅰ）经过3局比赛就宣告结束的概率；
（Ⅱ）若胜一局得1分，负一局得0分，求比赛结束时乙得2分的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，经过三局比赛结束包括了两个事件，事件A：甲以3：0获胜；事件B：乙以3：0获胜，经过3局比赛就宣告结束的概率是此两事件概率的和，即P₁=P（A+B）=P（A）+P（B）由题设条件求解即可；
（II）由题意，比赛结束时乙得2分的情况，只可能是乙以2：3负于甲，即前4局比赛中乙恰好胜2局，第5局比赛乙负，故事件“比赛结束时乙得2分”概率是P2=

c

2 4

(

1

3

)2×(

2

3

)2×

2

3

，计算出结果即可得到答案

解答：解：（Ⅰ）记事件A：甲以3：0获胜；事件B：乙以3：0获胜，
则经过3局比赛就宣告结束的概率是
P1=P(A+B)=P(A)+P(B)=(

2

3

)3+(

1

3

)3=

9

27

=

1

3

．…（6分）
（Ⅱ）比赛结束时乙得（2分）的情况，只可能是乙以2：3负于甲，即前4局比赛中乙恰好胜2局，第5局比赛乙负，于是乙得（2分）的概率是
P2=

c

2 4

(

1

3

)2×(

2

3

)2×

2

3

=

16

81

．…（12分）

点评：本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，互斥事件的和事件的概率，相互独立事件的概率乘法公式，解题的关键是理解题意，根据所研究的事件的类型选择恰当的概率模型求出概率，如第一小题中所求的概率是两个互斥事件概率的和，第二小题中四次试验中某事件发生两次的概率的求法，所用的模型是n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，从现实问题中抽象出相应的数学模型是成功解题的第一步