Question

已知正四面体ABCD的棱长为a．
（1）求证：AC⊥BD
（2）求AC与BD的距离．
（3）求它的内切球的半径．

Answer 1

分析：（1）取AC中点E，根据AD=DC，AB=BC，可知AC⊥DE，AC⊥BE，从而AC⊥平面BDE，故可证AC⊥BD
（2）取BD中点F，证明EF为AC与BD的距离，由于正四面体ABCD的棱长为a，故可求；
（3）设内切球心为O，半径为r，利用V_A-BCD=V_O-ABC+V_O-PAB+V_O=PBC+V_O-PAC，各底面面积相等，故可求．

解答：解：（1）证明：取AC中点E
∵AD=DC，AB=BC
∴AC⊥DE，AC⊥BE
∴AC⊥平面BDE
∴AC⊥BD
（2）取BD中点F，则，EF⊥BD
同理可证EF⊥AC
∴EF为AC与BD的距离
∵正四面体ABCD的棱长为a
∴DE=

3

2

a
∴EF=

2

2

a
（3）设内切球心为O，半径为r
∵V_A-BCD=V_O-ABC+V_O-PAB+V_O=PBC+V_O-PAC
∴r=

6

12

a

点评：本题以正四面体为载体，考查线线垂直，考查异面直线间的距离，考查体积公式的运用，属于基础题．