Question

（本小题满分14分）如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，

AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120⁰，F为AE中点。

(Ⅰ) 求证：平面ADE⊥平面ABE ；

(Ⅱ) 求二面角A—EB—D的大小的余弦值；

（Ⅲ）求点F到平面BDE的距离。

Answer 1

（Ⅱ）余弦值为（Ⅲ）点F到平面BDE的距离为

解析:

解法1：(Ⅰ)证明：取BE的中点O，连OC，OF，DF，则2OFBA…2分

∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD BA，

∴OFCD，∴OC∥FD      ………………4分

∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE.

∴OC⊥平面ABE. ∴FD⊥平面ABE.

从而平面ADE⊥平面ABE.     ………………6分

(Ⅱ)二面角A—EB—D与二面角F—EB—D相等，由(Ⅰ)知二面角F—EB—D的平面角为∠FOD。BC=CE=2, ∠BCE=120⁰，OC⊥BE得BO=OE=，OC=1，∴OFDC为正方形，∴∠FOD=45⁰，

∴二面角A—EB—D的余弦值为。   ……………………10分

（Ⅲ）∵OFDC为正方形，∴CF⊥OD，CF⊥EB，∴CF⊥面EBD，

∴点F到平面BDE的距离为FC，∴点F到平面BDE的距离为。……………14分

解法2：取BE的中点O，连OC.∵BC=CE, ∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE.

以O为原点建立如图空间直角坐标系O－xyz，

则由已知条件有: ，，

 ……………………………2分

设平面ADE的法向量为，

则由·

及·

可取                 …………………………… 4分

又AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，OC⊥平面ABE，

∴平面ABE的法向量可取为＝.

∵··=0, ∴⊥，∴平面ADE⊥平面ABE.…… 6分

（Ⅱ）设平面BDE的法向量为，

则由·

及·可取……… 7分

∵平面ABE的法向量可取为＝                         …………8分

∴锐二面角A—EB—D的余弦值为=，………… 9分

∴二面角A—EB—D的余弦值为。          ……………………………10分

（Ⅲ）点F到平面BDE的距离为。……………………………14分