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【题目】已知函数fx)=lnx

1)若a4,求函数fx)的单调区间;

2)若函数fx)在区间(01]内单调递增,求实数a的取值范围;

3)若x1x2R+,且x1x2,求证:(lnx1lnx2)(x1+2x2≤3x1x2).

【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析

【解析】

(1)a=4代入f(x)求出f(x)的导函数,然后根据导函数的符号,得到函数的单调区间;

(2)根据条件将问题转化为,上恒成立问题,然后根据函数的单调性求出的范围;

(3)根据条件将问题转化为成立问题,,成立,再利用函数的单调性证明即可.

:(1)的定义域是,,

所以,,

,解得,

,解得,

,上单调递增,,上单调递减.

(2)(1),

若函数在区间,递增,则有,上恒成立,

,上恒成立成立,所以只需,

因为函数时取得最小值9,所以,

所以a的取值范围为.

(3),不等式显然成立,

,因为,,所以要原不等式成立,

只需成立即可,

,,

(2)可知函数,递增,所以,

所以成立,

所以(lnx1lnx2)(x1+2x2)≤3(x1x2).

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