练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （1）对于定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足xf′（x）+2f（x）＜0，求证：函数y=x2f（x）在（0，+∞）上是减函数；
    （2）请你认真研读（1）中命题并联系以下命题：若f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，满足xf′（x）+f（x）＜0，则y=xf（x）是（0，+∞）上的减函数．然后填空建立一个普遍化的命题：设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，n∈N+，若
    x
    x
    ×f′（x）+n×f（x）＜0，则
    y=xnf（x）
    y=xnf（x）
    是（0，+∞）上的减函数．
    注：命题的普遍化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合；或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑包含该较小集合的更大集合．
    （3）证明（2）中建立的普遍化命题．
    分析：（1）当x＞0时，用x乘以xf′（x）+2f（x）＜0，得[x2f（x）]′＜0，即得证；
    （2）考查类比推理，若x×f′（x）+n×f（x）＜0，则y=xnf（x）是（0，+∞）上的减函数；
    （3）利用导数来证明函数的单调性．
    解答：（1）证明：当x＞0时，用x乘以xf′（x）+2f（x）＜0，得[x2f（x）]′＜0，
    所以，函数y=x2f（x）在（0，+∞）上是减函数；…（4分）
    （2）类比（1）可知，设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，n∈N+，
    若x×f′（x）+n×f（x）＜0，则y=xnf（x）是（0，+∞）上的减函数；…．（4分）
    （3）证明：由于f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，n∈N+，
    则xn-1＞0，
    若x×f′（x）+n×f（x）＜0，则xn-1[x×f′（x）+n×f（x）]=[xnf（x）]′＜0，
    所以y=xnf（x）是（0，+∞）上的减函数．…（4分）
    点评：主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1、x2，不等式（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0恒成立，则不等式f（1-x）＜0的解集为
    （-∞，0）
    （-∞，0）
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义在（0，1）的函数f（x），对于任意x1，x2∈（0，1）（x1≠x2），恒有
    f(x1)-f(x2)
    x1-x2
    ＜0    ．若A、B为锐角三角形ABC的两内角，则有（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•长宁区二模）对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：
    ①若f（x）是奇函数，则f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；
    ②若函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，则f（x）为偶函数；
    ③若对x∈R，有f（x-1）=-f（x），则2是f（x）的一个周期；
    ④函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称．
    其中正确的命题是
    ①②③④
    ①②③④
    ．（写出所有正确命题的序号）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=ax-a+1（a＞0且a≠1），恒过定点（2，2）．
    （1）求实数a；
    （2）在（1）的条件下，将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g（x），设函数g（x）的反函数为h（x），直接写出h（x）的解析式；
    （3）对于定义在（0，4）上的函数y=h（x），若在其定义域内，不等式[h（x）+2]2＞h（x）m-1恒成立，求实数m的取值范围．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案