Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣x+2 ．
（Ⅰ）求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）令g（x）= +lnx，若函数y=g（x）在（e，+∞）内有极值，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求证： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（1）=13﹣1+2×1=2．

∴函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：
y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0．
（Ⅱ）解：
定义域为（0，1）∪（1，+∞）
∴
设h（x）=x2﹣（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+∞）上有极值，
则 h（x）=x2﹣（a+2）x+1=0有两个不同的实根x1 ， x2 ，
∴△=（a+2）2﹣4＞0∴a＞0或a＜﹣4①
而且一根在区间（e，+∞）上，不妨设x2＞e，又因为x1x2=1，∴ ，
又h（0）=1，
∴
联立①②可得：
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x∈（1，x2），g'（x）＜0，∴g（x）单调递减，
x∈（x2+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增
∴g（x）在（1，+∞）上有最小值g（x2）即t∈（1，+∞），都有g（t）≥g（x2）
又当x∈（0，x1），g'（x）＞0∴g（x）单调递增，当x∈（x1 ， 1），g'（x）＜0，∴g（x）单调递减，
∴g（x）在（0，1）上有最大值g（x1）即对s∈（0，1），都有g（s）≤g（x1）
又∵x1+x2=2+a，x1x2=1，x1∈（0， ），x2∈（e，+∞），
∴ =
=
，
∴ ，
∴k（x）在（e，+∞）上单调递增，∴
∴
【解析】（Ⅰ）求出切点坐标，求出导数，得到切线的斜率，然后求解函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）化简g（x）的表达式，求出定义域，求出导函数，构造函数h（x）=x2﹣（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+∞）上有极值，转化为 h（x）=x2﹣（a+2）x+1=0有两个不同的实根x1 ， x2 ， 利用判别式推出a的范围，判断两个根的范围，然后求解a 的范围．（Ⅲ）转化已知条件为t∈（1，+∞），都有g（t）≥g（x2），通过函数的单调性以及最值，推出 = ，构造函数 ，利用导数以及单调性求解即可．
【考点精析】关于本题考查的函数的极值与导数，需要了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．