Question

两球O₁和O₂在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内部，且互相外切，若球O₁与过点A的正方体的三个面相切，球O₂与过点C₁的正方体的三个面相切，则球O₁和O₂的表面积之和的最小值为（　　）

• A、(6-3

  3

  )π
• B、(8-4

  3

  )π
• C、(6+3

  3

  )π
• D、(8+4

  3

  )π

Answer 1

分析：设出球O₁与球O₂的半径，求出面积之和，利用相切关系得到半径与正方体的对角线的关系，通过基本不等式，从而得出面积的最小值．

解答：解：设球O₁与球O₂的半径分别为r₁，r₂，∴r₁+r₂+

3

（r₁+r₂）=

3

．r₁+r₂=

3

1+ 3

=

3- 3

2

，
r₁+r₂≥2

r1r2

，球O₁与球O₂的面积之和为：
S=4π（r₁²+r₂²）=4π（r₁+r₂）²-8πr₁r₂≥

12π

( 3 +1)2

-2π 

3

( 3 +1)2

=(6-3

3

)π，当且仅当r₁=r₂时取等号
其面积最小值为(6-3

3

)π．
故选A．

点评：本题是中档题，考查球与正方体相切关系的应用，考查基本不等式求解最值问题，考查计算能力，空间想象能力．