Question

如图，已知三棱锥A-BCD的侧视图，俯视图都是直角三角形，尺寸如图所示．
（1）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（2）在线段AC上是否存在点F，使得BF⊥面ACD？若存在，求出CF的长度；若不存在说明理由．

Answer 1

（1）取BD的中点O，连AO，则AO⊥面CBD．
以O为原点建立空间直角坐标系，如图．
A（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2

3

，0），D（-1，0，0）．

AB

=(1，0，-1)，

CD

=(-2，-2

3

，0)，cos＜

AB

，

CD

＞=-

2

4

．
所以所求异面直线AB与CD所成角的余弦值为

2

4

；（5分）
（2）设

CF

=λ

CA

，
则

BF

=

BC

+

CF

=(-λ，2

3

(1-λ)，λ)
由BF⊥面ACD得：

BF • CA =2λ-12(1-λ)=0 BF • AD =λ-λ=0

解得λ=

6

7

，
|

CF

|=

6

7

|

CA

|=

6

7

14

，（5分）