Question

6．已知tanα=2
（1）求sinα和cosα的值；
（2）求sin²α+3sinαcosα+1的值．

Answer 1

分析 （1）由tanα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα和cosα的值即可；
（2）原式利用同角三角函数间基本关系化简，整理后将tanα的值代入计算即可求出值．

解答 解：（1）tanα=2=$\frac{sinα}{cosα}$＞0，
∴α是第一或第三象限角，
当α是第一象限角时，结合sin²α+cos²α=1，有$\left\{\begin{array}{l}sinα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\\ cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}\end{array}\right.$；
当α是第三象限角时，结合sin²α+cos²α=1，有$\left\{\begin{array}{l}sinα=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\\ cosα=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}\end{array}\right.$；
（2）∵tanα=2，sin²α+cos²α=1，
∴原式=$\frac{{{{sin}^2}α+3sinαcosα+1}}{1}$=$\frac{{2{{sin}^2}α+3sinαcosα+{{cos}^2}α}}{{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}$=$\frac{2ta{n}^{2}α+3tanα+1}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{8+6+1}{4+1}$=$\frac{15}{5}$=3．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．