Question

如图，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，E为点A在平面PBC内的射影.

(1)求证：PA⊥平面ABC；

(2)当E为△PBC的垂心时，求证：平面PAB⊥平面PAC；

(3)当平面PAB⊥平面PAC时，E为△PBC的垂心吗？请说明理由.

Answer 1

(1)证明：在平面ABC内取一点D，作DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，则DE⊥面PAC，DF⊥面PAB，∴PA⊥DE,PA⊥DF.∴PA⊥平面ABC.?

(2)证明：可证得PC⊥面ABE，?

∴AB⊥PC,AB⊥PA.?

∴AB⊥平面PAC.故平面PAB⊥平面PAC.?

(3)解析：当平面PAB⊥平面PAC时，可得AB、AC、PA两两垂直，故E为△PBC的垂心.